参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/392808684
1、比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。
泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值。
所以泰勒公式是做什么用的？
简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数 ( 即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像 ) ，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂的函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。
2、问题的提出
多项式 是最简单的一类初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。
3、近似计算举例
初等数学已经了解到一些函数如： 的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以 的近似计算为例：
①一次（线性逼近）
利用微分近似计算公式 ，（ 该式由导数/微分的极限表达公式转换得到 ），对 附近的 的线性逼近为： ，所以 在 附近的线性逼近函数 ，如下图：
线性逼近优点：形式简单，计算方便；缺点：离原点 O 越远，近似度越差。
②二次逼近
二次多项式 逼近 ，我们期望：
（即期望在处逼近函数和给定函数值相等）；
（即期望在处逼近函数和给定函数的斜率相等）；
，所以 （即期望在处逼近函数和给定函数的曲率相等）；
所以 ，如下图
二次逼近要比线性逼近好得多，但局限于 内，该范围外，图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值、一阶导数值、二阶导数值相等？因为这些值表达了函数（图像）最基本和最主要的性质，这些性质逼近即可使两个函数逼近（由上图函数图像可以直观地看出来）
③八次逼近
八次多项式 逼近 ，我们期望：
，求出 （即期望在处逼近函数和给定函数值相等）；
，求出 （即期望在处逼近函数和给定函数的斜率相等）；
，求出 （即期望在处逼近函数和给定函数的曲率相等）；
所以 ，如下图：
（绿色图像）比 （蓝色图像）更大范围内更接近余弦函数（红色图像）
由上述3次不同程度的函数逼近可以看出：对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。
以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。
4、泰勒公式的推导
由此引出一个问题：给定一个函数，要找一个在指定点附近与很近似的多项式函数，记为：使得并且使得两者误差可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件，误差是什么？
从几何上看，代表两条曲线，如下图：
使它们在 附近很靠近，很明显：
① 首先要求两曲线在点相交，即
② 如果要靠得更近，还要求两曲线在点相切，（由图像可以直观看出，相交【棕色和红色图像】和相切【绿色和红色图像】，两曲线在附近的靠近情况明显差异很大，相切更近），即
③ 如果还要靠得更近，还要求曲线在点弯曲方向相同，（如上图，弯曲方向相反【绿色和红色图像】；弯曲方向相同【蓝色和红色图像】，明显在离很远的地方，弯曲方向相同两函数的差异更小一点），即，进而可猜想，若在附近有，，......，，近似程度越来越好。
综上所述，所要找的多项式应满足下列条件：
解释一下上面的转换是如何做的，以上面第三行的二阶导数为例：
第一个箭头的转换：将 求二阶导函数后将 带入，求得
第二个箭头的转换：所以 ，所以
多项式函数 中的系数可以全部由表示，则得到：
其中误差为 。因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数，所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。
5、泰勒公式的定义
所以我们就得到了泰勒公式的定义：
如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数，则对，有
其中余项（即误差），在与之间。泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表示方法称为阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项是阶泰勒公式又多展开了一阶，变为。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。
6、扩展--麦克劳林公式
是泰勒公式的一种特殊情况：即当时的泰勒公式。所以将带入公式，即得：
几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：
佩亚诺余项为的高阶无穷小：
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